A partir de um triângulo equilátero traça-se segmentos unindo os pontos médios de cada um de seus lados, dividindo-o em quatro partes iguais, das quais retira-se a parte central.
a) Quantos triângulos restaram em seu interior, em uma divisão?
b) E em duas divisões, quantos triângulos restariam em seu interior?
c) Ao se repetir o processo infinitas vezes quantos triângulos vão sendo formados no interior, em cada divisão?
d) Matematicamente, o que é possível destacar a partir de cada divisão?
Referência: MELO, Marcela Camila Picin de. A resolução de problemas: uma metodologia ativa no ensino de matemática para a construção dos conteúdos de “Potenciação e radiciação” com alunos do ensino fundamental. 2020. 194 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) – Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Londrina, 2020.
Unidade temática (conforme BNCC): Álgebra; Número; Geometria
A partir de que série o problema é recomendado: 6° e 8º ano do Ensino Fundamental
Conteúdo(s): Potenciação de base três, e também, fractal e Triângulo de Sierpinski
Estratégias de resolução:
Pode ser resolvido por meio de uma tabela, contendo os triângulos, em cada divisão realizada:
| QUANTIDADE DE DIVISÕES EM PARTES IGUAIS | QUANTIDADE DE TRIÂNGULOS OBTIDOS |
| 0 | 1 TRIÂNGULO |
| 1 | 3 TRIÂNGULOS |
| 2 | 9 TRIÂNGULOS |
| 3 | 27 TRIÂNGULOS |
Outra opção seria utilizando uma operação matemática:
início: 1 triângulo
1 divisão: 3×1=3 triângulos
2 divisões: 3×3=9 triângulos
3 divisões: 3x3x3=27 triângulos
O processo segue infinitamente, até que se deseje realizar as divisões em partes iguais. A cada nova divisão, o número de triângulos anteriores é multiplicado por três.
Nesse momento, o professor pode definir que a estrutura geométrica criada por eles se refere a um fractal, assim é possível explorar suas características e analisar o comportamento matemático. A potenciação de base três é a multiplicação do 3 de acordo com a quantidade indicada pelo expoente.
Recomendações ao professor: Caso os alunos apresentem apenas a resolução com operações, o professor pode construir a tabela e ir associando a ideia de potenciação, chegando à potência de base três. Se os alunos montarem a tabela, o professor pode realizar a construção da multiplicação juntamente com os alunos, chegando também na ideia de potência.
Como extensão do problema, o professor pode utilizar um aplicativo ou o site do geogebra para desenhar o que se diz no enunciado deste problema. Nesse caso, o professor pode construir juntamente com eles ou, ainda, ensiná-los o passo a passo para construção.