Observem os triângulos abaixo. Quais são semelhantes? Expliquem o raciocínio que utilizaram. (Adaptado de PIRONEL, 2019)
Observação: Por causa das diferentes indicações dos ângulos, é necessário que o professor comunique aos seus alunos que ângulos com um número de marcações iguais, num mesmo item, indicam que aqueles ângulos são iguais, mesmo sendo em triângulos distintos.
Referência: PIRONEL, Márcio. Avaliação para a aprendizagem: a metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação de matemática através da resolução de problemas em ação. 2019. 297 f. Tese. (Doutorado em Educação Matemática) – Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas. Rio Claro, 2019. p 216-233.
Unidade temática (conforme BNCC): Geometria
A partir de que série o problema é recomendado: 6°, 8° e 9° ano do Ensino Fundamental
Conteúdo(s): Semelhança de triângulos.
Estratégias de resolução:
Iniciando pelos dois primeiros triângulos nomeados ABC e A’B’C’, os alunos podem analisar as medidas dos seus lados, comparando, a razão entre seus lados para verificar se são triângulos semelhantes: 3/2=1,5 6/4=1,5 4,5/3=1,5
Como as razões são iguais, os lados são proporcionais. Logo, os dois triângulos são semelhantes.
No item 2, sendo os triângulos DEF e D’E’F’, as indicações em cada ângulo são iguais, ou seja, d=d’, e=e’ e f=f’. Sendo assim, eles são semelhantes.
No item 3: os alunos podem chegar a conclusão que não há possibilidade de verificar se são proporcionais, por não conter todos os dados.
No item 4: Os lados dos dois triângulos aumentaram proporcionalmente e o ângulo também é igual. Assim, por ser um triângulo isósceles é possível concluir que esses triângulos são proporcionais.
Recomendações ao professor:
Ao resolver este problema, considera-se que os alunos já sabem o que significa um polígono ser semelhante. Espera-se, então, que eles analisem os triângulos propostos, identificando se são figuras semelhantes, se é uma figura ampliada ou reduzida, de forma que encontrem a maior quantidade de informações O professor por sua vez, deve realizar intervenções, questionamentos e incentivar os alunos a contribuírem. Assim, quando os alunos respondem, o professor deve ajudá-los a pensar o problema e realizar novos questionamentos, fazendo com que os alunos cheguem a conjecturas sobre as respostas e busquem argumentos para validar suas resoluções.
Com a aplicação deste problema é possível identificar os critérios de semelhança dos triângulos:
No item 1 é possível apresentar o caso LLL (lado-lado-lado), e pode-se dizer que, se esses lados são diretamente proporcionais, os ângulos são iguais, sendo que o uso de um critério de semelhança é a condição mínima para que dois triângulos sejam semelhantes.
No item 2 temos o caso AA (ângulo-ângulo), em que se dois ângulos são congruentes, significa que o terceiro também será congruente por se tratar de um triângulo.
No item 3 é o caso LLA (lado-lado-ângulo), em que se tem dois lados diretamente proporcionais e um ângulo congruente, que não nos permite concluir pela semelhança ou não. Tem-se 5u/2,5u=2u e 6u/3u=2u, porém, por não conter o dado referente ao terceiro lado, não é possível verificar se são proporcionais. Para descobrir utilizando os ângulos, seria necessário, pelo menos, a informação de dois ângulos, para concluir que o terceiro também seria semelhante, o que não ocorre pois na imagem se tem apenas que um ângulo é semelhante. Assim, não é possível concluir se são semelhantes por não possuírem todos os dados para realizar a verificação.
No item 4 é possível apresentar o caso LAL (lado-ângulo-lado), em que se o ângulo congruente está entre dois lados proporcionais, assim, o terceiro lado também será proporcional e os triângulos serão semelhantes.
Como extensão ao problema, o professor pode utilizar o jogo online Triângulos semelhantes ou alguma atividade para aplicar o conceito aprendido.
Referência do Jogo:
Triângulos semelhantes. Wordwall, 2022. Disponível em: https://wordwall.net/pt/resource/12246579/tri%C3%A2ngulos-congruentes. Acesso em: 16 de maio de 2022.