João e Cândida estão usando uma balança analógica (balança que possui ponteiros, como na imagem abaixo), para pesar suas mochilas. Quando pesadas separadamente, a balança mostra 3 kg e 2 kg. Quando são pesadas juntas, a balança mostra 6 kg. “Isso não pode estar certo,” disse Cândida. “Dois mais três não é igual a seis!”. “Você não está vendo?” respondeu João. O valor no visor da balança analógica não está no zero. Quanto as mochilas pesam de fato?
Referência: DORICHENKO, Sergey. Um círculo Matemático de Moscou: Problemas semana-a-semana. 1. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2016. 247 p.
Unidade temática (conforme BNCC): Números
A partir de que série o problema é recomendado: 7º ano do Ensino Fundamental
Conteúdo(s): Adição algébrica com Números Inteiros
Estratégias de resolução:
Os alunos podem pensar da seguinte forma:
João 3 kg
Cândida 2 kg
E juntos pesam 6 kg
O fato de que o ponteiro da balança não está no zero significa que a leitura na balança interfere nos dois casos com a mesma quantidade. Assim, os alunos poderão criar uma tabela, por exemplo, e simular valores:
| Situação 1 – pesadas juntas | Situação 2 – pesadas separadamente | |||||
| ponteiro balança início | ponteiro balança | peso das mochilas
(real) |
ponteiro balança início | Mochila 1 | Mochila 2 | peso das mochilas
(real) |
| -0,5kg | 6 kg | 6,5kg | -0,5kg | 3kg (3,5kg) | 2kg (2,5kg) | 6kg |
| -1kg | 6kg | 7kg | -1kg | 3kg (4kg) | 2kg (3kg) | 7 kg |
Portanto, o ponteiro da balança estaria marcando 1 kilo a menos e as mochilas pesam, respectivamente, 4kg e 3kg.
No momento da formalização, após a apresentação das resoluções dos grupos na lousa, o professor pode indicar essa quantidade desconhecida por x. O peso real da primeira mochila não é conhecido, mas quando adicionado x a ele, a balança marca 2kg. Do mesmo modo, a soma de x com o peso verdadeiro da segunda mochila resulta em 3kg. A soma dos dois pesos (das duas mochilas) resulta em 5kg, que difere x+x da soma dos pesos verdadeiros. Ao pesar as duas mochilas ao mesmo tempo, o resultado é 6kg, que difere x da soma dos pesos verdadeiros.
Então x=-1: a balança mostra 1kg a menos do que o peso verdadeiro. Logo, os pesos corretos das mochilas são 3kg e 4kg.
Recomendações ao professor: O professor pode realizar questionamentos aos seus alunos de forma que pensem sobre como resolver o problema. Eles podem utilizar, primeiramente, a tentativa e erro para encontrar a solução. Incentivar que os alunos pensem no valor negativo, pois a balança está marcando um valor antes do número zero. Após a discussão das resoluções o professor pode sistematizar a ideia de adição algébrica com Números Inteiros.
Como extensão do problema, o professor pode utilizar o problema para falar sobre as propriedades da adição algébrica com Números Inteiros, como a propriedade comutativa da adição, a propriedade associativa da adição e a propriedade do elemento neutro da adição, fazendo a formalização de todas elas. Pode-se também realizar a formalização de sistema de equações com duas incógnitas a partir das resoluções dos alunos.
¹Neste problema está sendo considerada a compreensão cotidiana de peso e não o conceito físico.