Os alunos do 8° ano propuseram um torneio, no qual o desafio foi criar um jogo com personagens de um desenho animado. Cada jogo que rodasse corretamente seria atribuído 3 pontos e para cada jogo que não rodasse seria atribuído de -2 pontos. Sabendo que, ao final do torneio, a pontuação de jogos que rodaram foi de 75 pontos, dos 40 jogos criados, quantos rodaram corretamente e quantos não rodaram?
Referência: PLANOS DE AULA. Nova Escola, 2022. Disponível em: https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/KyjhaZJ8p3wvVnnvtfXzvszPmkjGv5WjhbU6NwyxrQSU58gGSz2M72WW9J4A/resol-ativaula-mat8-26rdp03.pdf. Acesso em: 25 de abril de 2022.
Unidade temática (conforme BNCC): Álgebra
A partir de que série o problema é recomendado: 8º ano do Ensino Fundamental
Conteúdo(s): Sistemas de equação
Estratégias de resolução:
1ª resolução) Poderia ser realizada pelos alunos utilizando tentativa e erro:
Se 33 jogos rodam + 7 jogos não rodam, 3.33=99 e -2.7=-14, logo 99-14=85 pontos.
Se 32 jogos rodam + 8 jogos não rodam, 3.32=96 e -2.8=-16, logo 96-16=80 pontos.
Se 31 jogos rodam + 9 jogos não rodam, 3.31=93 e -2.9=-18, logo 93-18=75 pontos.
2ª resolução) Os alunos podem utilizar de uma tabela listando todas as opções até encontrar uma opção que encaixe a quantidade de jogos que rodam somados com o que não rodam, no total de 40 jogos, e a soma das pontuações:
- Como o total é de 75 pontos, ou seja, não pode ser um número negativo, a tabela pode ser iniciada com 20 jogos que rodam e 20 jogos que não rodam, e assim, avaliar se é necessário aumentar ou diminuir essa quantidade até encontrar o valor de 75 pontos.
| JOGOS QUE RODAM X 3 pontos | JOGOS QUE NÃO RODAM X (-2) pontos | TOTAL DE JOGOS | TOTAL DE PONTOS |
| 20×3=60 | 20x(-2)=-40 | 20+20=40 | 60-40=20 |
| 25×3=75 | 15x(-2)=-30 | 25+15=40 | 75-30=45 |
| 30×3=90 | 10x(-2)=-20 | 30+10=40 | 90-20=70 |
| 31×3=93 | 9x(-2)=-18 | 31+9=40 | 93-18=75 |
Desse modo, o aluno irá concluir que 31 jogos rodaram e 9 não rodaram.
Recomendações ao professor:
Deixar os alunos discutirem as resoluções, após, o professor pode questionar se todas as soluções apresentadas estão corretas e se existe outra possibilidade de resolução. Se os alunos fizerem por tentativa e erro, o professor pode questionar se há alguma forma de organizar esses resultados. Assim, com essa organização o professor poderá encaminhar a sistematização do conteúdo.
Chame de x a quantidade de jogos que rodaram. Chame de y a quantidade de jogos que não rodaram. O total de jogos é 40, logo temos: (I) x+y=40.
Cada jogo que rodar somará 3 pontos: 3x. Cada jogo que não rodar resultará -2: -2y.
Se a pontuação de jogos que rodaram é 75, logo (II) 3x-2y=75.
Montar um sistema de equação e resolver por meio do método da adição:
x+y=40.(-3)
-3x-3y=-120
-5y=-45 → y=9
3x-2y=75
3x-2y=75
Substituindo y=9
x+9=40=>x=40-9=>x=31
Ou montar um sistema de equação e resolver por meio do método da substituição:
x+y=40 (I)
3x-2y=75 (II)
Isolando x em (I): x=40-y
Substituindo (I) em (II):
3.(40-y)-2y=75 => 120 -3y-2y=75=>-5y=75-120 =>y=-45-5=>y=9
Substituindo y=9 em (I):
x+9=40=>x=40-9=>x=31
O professor pode explorá-lo conforme seu objetivo, para trabalhar o método da adição ou o método da substituição, ou ainda ambos.
Como extensão do problema, o professor pode utilizar o problema para explorar o gráfico de um sistema de equações com duas variáveis, o professor pode utilizar-se do geogebra para realizar a representação ou até mesmo realizar no quadro da sala de aula ensinando seus alunos a desenhar o gráfico da maneira correta.